Законодательство не запрещает передачу сторонней организации функций по воинскому учёту сотрудников.

Здесь надо помнить, что передать эти функции можно хоть папе римскому,но личную ответственность за осуществление воинского учёта несёт руководитель организации. Свалить вину, перевести стрелки или отмазаться ссылаясь на "они виноваты" - не получится.