Иными словами: за кем остается обязанность по ведению воинского учёта или "он ведётся только по основному месту работы"?

Ответ: воинский учёт по внешним совместителям ведётся в общем порядке, поскольку никаких особых исключений и правил законодательство для них не предусматривает.

Потому что: когда внешний совместитель устраивается на работу - он, так же как и на основном месте работы! - предоставляет необходимые для оформления документы (ст. 65 ТК РФ). В их числе - документы воинского учёта для военнообязанных лиц.